在数学领域有很多大器晚成的人,但他不是其中之一
数学是科学的皇后,而数论则是数学的皇后。
——卡尔·弗里德里希·高斯
认为所有伟大数学家都曾是天才儿童的观点是荒诞的。在数学领域有很多大器晚成的人。但卡尔·弗里德里希·高斯不是其中之一。他的数学天分在年轻时就展露无遗。在他的黄金时代,高斯喜欢讲述这段经历:他的老师让班上所有人去计算算术级数的和,好让学生们有事可做,不会惹麻烦。这位年轻的天才推导出了这种级数的求和公式,然后马上拿着石板告诉老师他已经做完了:“Ligget se.(答案就在这里。)”但他早期的数学尝试不仅限于给老师留下深刻印象,他还是青少年时就得到了很多重大的数学发现——其中之一是我们故事中的一个主要情节。
(资料图片)
01
完美主义者
高斯于 1777 年生于布伦瑞克,那里如今属于德国下萨克森州。因为在数学方面早早显露出天赋,他吸引了布伦瑞克公爵的注意。公爵开始授予高斯奖学金。这让高斯得以前往布伦瑞克卡罗琳学院,以及后来到哥廷根大学就读。高斯没有拿到毕业证书就离开了哥廷根,但他在那里发现了许多重要的数学成果。他从黑尔姆施泰特大学取得了博士学位。
公爵继续发给高斯津贴,这样后者就能把所有时间都投入研究中。但后来,公爵在为普鲁士军队作战时牺牲,就没有人再支付这笔钱了。因为需要工作,高斯接受了新哥廷根天文台台长的职位。他直到老年时期还在继续研究,最终于 1855 年在哥廷根过世。
不像持续发表文章的欧拉, 高斯是一位完美主义者。他会暂时保留自己的发现,不断打磨,直到能发表一篇杰作出来。 这些发现在被发表时一定十分成熟、极其深刻,并且令其他人难以理解;数学界经常要花上数年才能完全理解高斯的想法。高斯个人的座右铭用在这里恰如其分:宁可少些,但要好些(pauca sed matura)。数学家们不断地从高斯本人或是他留下的笔记中了解到,即便是数十年甚至数世纪之后的新数学发现,都有可能只是重新发现了高斯早已得到的某个想法。
高斯的研究领域过于广泛,我们无法一一描述。他为代数、分析、数论、几何、拓扑学、复分析、线性代数、统计学以及物理和天文学的很多领域都做出了重要贡献。
02
十七边形
1796 年,高斯开始记录他的第一篇数学日记。在头一年,它只是记载了高斯那一年的数学成就和发现(共 49 篇)。尽管很多记述晦涩难解(不只对于我们,显然对于晚年的高斯也是一样的),标注日期为 1796 年 3 月 30 日的第一篇日记却很清楚明白:
此时,除了这一句话以外,高斯什么都没写。 就在离他 19 岁生日还有一个月的时候,这位青年发现了可以仅用尺规作正十七边形。 不仅如此,他还给出了可作图正多边形的一般规则。同年晚些时候,他写道:
他继续写道:“这一发现只是一个尚未完成的更大发现的推论。一旦完成,我就会公之于众。”他确实还有更多东西要说。该发现后来成了高斯在 1801 年出版的《算术研究》中的一部分。该书是数论领域的一本杰出论述。
奥拉夫·诺伊曼这样评论《算术研究》:“它迅速被当时的专家们认可……为一本杰作。它的条理性、严密性以及内容之丰富都是前所未有的。它把数论从一座座分散的孤岛变成数学中一块正式的大陆……这本书是数学,也是人类文明的‘永恒经典’。”
高斯对多边形可作图性这一发现非常自豪。有些人说正是这一发现激励高斯成为数学家。他还要求把十七边形刻在自己的墓碑上。这一要求最后没能实现,但今天他的家乡布伦瑞克兴建了一座高斯雕像,上面装饰着一个十七角星。
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作者:[美] 大卫•S. 里奇森(David S. Richeson)
译者:姜喆
视角独特,探索尺规问题中的数学宝藏; 可读性强,数学知识、奇闻趣事交错呈现